Academia de matemáticas divertidas – Reto 1: Resta el restante hasta llegar a la constante de Kaprekar

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Academia de matemáticas divertidas: Constante de Kaprekar

Si te gusta jugar con los números o, sencillamente, cualquier tipo de pasatiempo con el que entretener la mente para pasar el rato, desde R3Kids, academia de matemáticas divertidas, te proponemos el siguiente reto:

 

1. El reto

 

  • PASO 1: Elige un número de cuatro cifras que tenga al menos dos diferentes (es válido colocar la cifra 0 al principio, por lo que el número 0009 es válido).
  • PASO 2: Coloca sus cifras en orden ascendente y en orden descendente para formar dos nuevos números. Puedes añadir tanto 0 como necesites al principio.
  • PASO 3: Resta el menor al mayor.
  • PASO 4: Vuelve al paso 2.

Repìte todo el proceso tantas veces como puedas. Ten un poco de paciencia y no te preocupes: Llegará un momento antes de que te canses en que sucederá algo que te impedirá seguir repitiendo.

Por ejemplo:

  • PASO 1:

2345

 

  • PASO 2:

5432     y    2345

 

  • PASO 3:

5432 – 2345 = 3087

 

  • PASO 4:

8730     y    0378

 

2. El resultado

 

Repitiendo los pasos anteriores propuestos en el primer reto de nuestra Academia de matemáticas divertidas, en nuestro ejemplo anterior:

8730 – 0378 = 8352

8532 – 2358 = 6174

7641 – 1467 = 6174

Y ya no hace falta que sigamos avanzando porque el resultado no varía desde que hemos obtenido…

6174

Al este proceso se le denomina rutina de Kaprekar y, sorprendentemente …¡¡¡siempre llegará al número 6174 en, como mucho, 7 iteraciones!!!

Una vez en él, el proceso no avanzará, dado que 7641 − 1467 = 6174.

 

3. La constante de Kaprekar

 

El matemático indio Dattaraya Ramchandra Kaprekar descubrió en 1949 esta curiosa característica del número 6174 que, desde entonces, se conoce en su honor como constante de Kaprekar.

Los únicos valores de cuatro cifras para los que la rutina de Kaprekar no finaliza en esa constante son aquellos que tienen las cuatro iguales (como 1111), pues en la primera iteración se alcanzará el valor 0 y no podrá salirse de él. Ello explica por qué en el paso 1 se exigía que, al menos, el número inicial tuviera dos cifras distintas.

El resto de los números de cuatro cifras terminarán siempre en el número 6174.

4. Ampliación

 

Una vez comprendido el reto de nuestra Academia de matemáticas divertidas, y por si te ha sabido a poco y quisieras continuar ampliando tu conocimiento, puedes comprobar también que:

  • Con los números de dos dígitos, no se llega nunca a un número fijo, sino que se entra en un bucle cíclico del tipo 09, 81, 63, 27, 45, 09.
  • Con tres dígitos, alcanzamos el 495.
  • Para cuatro dígitos el número es el susodicho y misterioso 6174.
  • Con cinco dígitos, no existe número fijo, sino tres ciclos (encima de distinta longitud).
  • Para seis dígitos, podemos llegar al 549945, al 631764 o a un ciclo de siete números.
  • Con siete dígitos, tampoco existe un número fijo, sino un único ciclo de nueve números.
  • Para ocho y nueve, hay otro par de números en cada caso respectivamente.
  • Con diez dígitos, podemos llegar a tres valores distintos: 6333176664, 9753086421 y 9975084201, o vernos dentro de cinco ciclos cortos.

Todo un berenjenal del que ningún matemático ha sabido salir todavía con una demostración general y convincente que lo explique.

Con la ayuda de las clases de apoyo en nuestra Academia de matemáticas divertidas, tal vez tú puedas conseguirlo dentro de unos años.

¡Hasta el siguiente reto R3Kids!

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